Mar 152013
 

Klokken har passeret midnat og jeg har været oppe siden kl 5 og arbejdet indtil lidt før midnat.

Jeg trænger til at tænke på noget andet, og hvad kan få en mand til at slappe af og cleare hjernen?

Ja, du gættede rigtigt, det er matematik:

Sådan afgør du om et tal er et primtal

Et primtal er et positivt heltal der kun kan divideres med 1 og sig selv og  stadig give et heltal som resultat.

Eksempler på primal: 2, 3, 5, 7, 11, 13 osv.

Det er let med de små tal – man kan næsten se det på dem, men hvordan afgør man om et stort tal er et primtal?

Hjernedødt niveau

Divider tallet med samtlige tal fra 2 op til tallet og se om du får et heltal.

Begynderniveau

Et primtal kan aldrig være et lige tal (de er altid dividerbare med 2). Hvis det er dividerbart med et andet lige tal end 2 så er det også divderbart med 2 da alle lige tal er dividerbare med to.

Ergo:

Tjek om der er tale om et lige tal. Hvis ikke, så divider tallet med samtlige ulige tal fra 2 op til tallet og se om du får et heltal.

Øvet niveau

Hvis du dividerer et tal med et tal der er større end halvdelen af tallet, får du et tal der er mindre end 2, altså et decimaltal (undtaget når du dividerer tallet med sig selv, så får du 1). Ergo behøver du kun teste heltal op til halvdelen af tallet selv.

Ergo:

Tjek om der er tale om et lige tal. Hvis ikke, så divider tallet med samtlige ulige tal fra 2 op til halvdelen af tallet og se om du får et heltal.

Avanceret niveau

Faktorene (to tal der ganget med hinanden giver et tal) vil altid være to tal der hver i sær enten er primtal eller ikke-primtal når vi regner med heltal (duh!). Hvis en af faktorene ikke er et primtal vil dette jf. definitionen af et primtal også kunne faktoriseres (udtrykkes som to heltal ganget med hinanden). Og for disse faktorer gælder samme regel som man kan gentage indtil man har faktoriseret ud i noget der er ene primtal.

Eksempel:

105 kan man hurtigt se kan divideres med 5 og derfor kan det faktoriseres ud som 5*21 (da 105 divideret med 5 er 21). 5 er et primtal, men 21 kan faktoriseres ud som 7 * 3, som begge er primtal (og derfor ikke kan faktoriseres yderligere ud.

Da faktorenes orden som bekendt er underordnet ved vi derfor også at 105 kan faktoriseres ud som 3 * 5 * 7.

Med andre ord behøver vi kun at teste om et tal er et primtal ved at teste om det kan divideres med andre primtal (undtaget 1) og stadig give et heltal.

Ergo:

Tjek om der er tale om et lige tal. Hvis ikke, så divider tallet med samtlige primtal fra 2 op til halvdelen af tallet og se om du får et heltal.

Ekspertniveau

Lad os antage at et tal har en kvadratrod (et heltal der ganget med sig selv (faktorer) giver tallet). Lad os kalde tallet X og faktorene Y og Z, så kan det udtrykkes som

X = Y * Z , hvor Y = Z

Lad os fastholde X men øge Y, hvad sker der så med Z hvis regnestykket stadig skal være sandt? Så må Z naturligvis blive mindre.

Eksempel med et ikke-primtal:

100 = 10 * 10

Hvis vi øger det ene 10-tal til fx. 20, så ser regnestykket således ud:

100 = 20 * 5

altså som nævnt ovenfor: ‘Z bliver mindre’.

Hvis vi sænker den ene faktor til 2 ser regnestykket således ud:

100 = 2 * 50

Da faktorenes orden er ligegyldig betyder det at vi ville have opdaget at 100 var dividerbart med de to laveste tal (5 i det ene eksempel og 2 i det andet) før vi når at teste med de to store tal (hhv. 20 og 50).

Og det vil gælde  i alle tilfælde lige op til det punkt hvor der er tale om at vi ganger to ens tal (faktorer) med hinanden. To ens faktorer – det er jo det vi kalder et primtal.

Ergo:

Tjek om der er tale om et lige tal. Hvis ikke, så divider tallet med samtlige primtal fra 2 op til kvadratroden af tallet og se om du får et heltal.

Nok matematik for i aften. Der må være mindst en fejl i ovenstående, men forhåbentlig fik du genopfrisket din viden om primtal eller lært lidt. Om ikke andet at jeg har en svaghed for primtal.

  One Response to “Sådan afgør du om et tal er et primtal”

  1. Frækkert! *raawrrr*

Sorry, the comment form is closed at this time.